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NOT100必勝法

「NOT100」という遊びがある。
形態はいろいろだが、もっとも単純なものは次のような遊びだ。
参加者は2人。まず一方が数を1から順に3個までいう。「1」でもいいし「1、2」でもいいし「1、2、3」でもいい。必ず1個以上でないといけない。次にもう一方が相手の数に続けて順に3個までいう。相手が「1」だったら、「2」「2、3」「2、3、4」などと続ける。これを交互に続けていき、最後に「100」をいった方が負けになる。
これには必勝法がある。先手必勝である。
先手は「1、2、3」と言う。
後手は「4」「4、5」「4、5、6」のいずれか。ここで先手は、それぞれのケースに対し、「5、6、7」「6、7」「7」という。つまり「7」で止める。
以降、先手は3、7、11、15というように3に4をプラスした数(言い換えると4の倍数から1を減じた数)まで言うように進めていく。すると「95」は必ず先手が言うことになる(95=24*4-1)。
こうなると後手は「96」「96、97」「96、97、98」のいずれかなので、先手は99まで言えばよい。
この遊びを一般化すると次の通りとなる。言ってはいけない数を「N」とする。言っていい個数を「a」とする。
このとき、N-1>(a+1)*n(nは整数)となる最大のnを求め、先手は最初に、N-1-(a+1)*nを言えばよい。あとは最初に言った数に(a+1)を加えた数まで言って止めればよい。
上の例の場合は、N=100、a=3であるから、N-1>(a+1)*n、すなわち、99>4*nとなる最大のnを求める。99÷4=24.75であるから、n=24。
したがって、最初に、N-1-(a+1)*n=100-1-(3+1)*24=3と言えばいいことになる。
ただし、この必勝法はNが4の倍数に1を加えた数ではうまくいかない。たとえばN=97の場合は最初に「4」と言わなければならないのでダメだ。逆に相手に必ず「4」と言われてしまうので、後手必勝ということになる。
さて、この必勝法。正しいかどうか試していただきたい。

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[2001-07-26]

豆知識